Un satèl·lit paradoxal

Guia per al professorat

Introducció

El moviment de satèl·lits en òrbita és una de les aplicacions que s'estudia a partir de la llei de la gravitació universal i que més atrau l'atenció de l'alumnat, segurament a causa de l'actualitat de la temàtica i del seu caràcter innovador, tot i que el primer satèl·lit artificial (Sputnik 1) es va llançar a l'espai el 4 d'octubre de 1957, ja fa més de 50 anys!

És fàcil arribar a calcular la velocitat que ha de mantenir un satèl·lit (massa m) en òrbita circular (radi r) al voltant de la Terra (massa M). Apliquem la segona llei de Newton i tenim en compte que, sobre el satèl·lit, només hi actua la força gravitatòria, que és la responsable de la seva acceleració centrípeta:

L'apliquem només en la component centrípeta

és a dir,

i després aïllem la velocitat

(1)

També és relativament senzill realitzar el càlcul de l'energia d'un satèl·lit en òrbita circular (de radi r). Cal sumar l'energia cinètica i la potencial gravitatòria:

i substituint la velocitat per l'expressió (1) obtenim:

Paradoxa

És possible que alguna vegada ens haguem fet la pregunta, o potser ens l'ha fet aquell alumne espavilat que sol fer preguntes “intel·ligents”:

Si un satèl·lit que està en òrbita engega els coets propulsors, tot faria pensar que, en guanyar velocitat i, per tant, augmentar l'energia, s'hauria d'allunyar de la Terra i, per tant, hauria de passar a òrbites amb radis més grans. Però, paradoxalment, comprovem que justament les òrbites més allunyades de la Terra són les que tenen velocitats més petites (segons l'expressió (1)).

Així doncs tenim una paradoxa que cal solucionar!

Solució

La solució és molt senzilla i podem explicar-la a l'alumnat de batxillerat, tot i que els detalls dels càlculs numèrics (no gaire complicats) queden fora del seu currículum. Vegem-ho.
Les fórmules que acabem de calcular i que solem aplicar en tots els exercicis corresponen només a òrbites circulars malgrat que sabem que la primera llei de Kepler diu que, en general, les òrbites dels satèl·lits són el·líptiques. Així doncs la solució a la nostra paradoxa és senzillament que el satèl·lit que orbita amb velocitat v_A i que guanya velocitat (fins al valor v_eA > v_A) abandona l'òrbita circular i passar a orbitar en una el·lipse al voltant de la Terra (Figura 1).

Segons la segona llei de Kepler (Viquipèdia: http://ca.wikipedia.org/wiki/Lleis_de_Kepler) , la velocitat d'un planeta varia segons el punt de la trajectòria al voltant del Sol:

El radi vector que uneix el planeta amb el Sol escombra àrees iguals en temps iguals. Per tant, el planeta es desplaça més ràpidament quan es troba en el periheli (punt de l'òrbita situat a la mínima distància del Sol) (v_eA) que quan és en l'afeli (punt de l'òrbita situat a la màxima distància del Sol) (v_eB).

De manera que, tal com observem a la figura 2, v_eA > v_eB.
Així doncs perquè un satèl·lit situat en una òrbita circular (radi r_A) es pugui situar en una òrbita circular amb un radi més gran (r_B) cal que recorri una òrbita de transferència el·líptica amb una velocitat màxima (v_eA ) quan es troba a una distància r_A de la Terra i mínima (v_eB) quan està a una distància r_B.
El procés serà, doncs, el següent: el satèl·lit orbita circularment (radi r_A) amb una velocitat v_A i cal que acceleri fins a obtenir una velocitat superior v_eA que correspon a la velocitat del perigeu (punt de l'òrbita situat a mínima distància de la Terra) de l'òrbita el·líptica de transferència. Mentre recorre la trajectòria el·líptica va disminuint la velocitat fins a arribar, just en l'apogeu (punt de l'òrbita situat a la màxima distància), al valor v_eB. Aquesta disminució de velocitat es pot argumentar de forma senzilla, tenint en compte que al llarg de la trajectòria, de A fins a B, el satèl·lit puja (s'allunya de la Terra). Just en aquest moment (apogeu) ha de tornar a accelerar per augmentar la velocitat fins a la velocitat v_B , que el situa a l'òrbita circular de radi r_B.
Així doncs, la paradoxa és que el satèl·lit ha d'augmentar dues vegades la seva velocitat per acabar en una òrbita on la velocitat és inferior a la inicial. La segona llei de Kepler, és a dir, la variació de la velocitat al llarg de la trajectòria el·líptica, ens explica satisfactòriament la paradoxa.

Alguns càlculs

El càlcul de les velocitats en òrbites el·líptiques és relativament fàcil, tot i que no s'inclou en el currículum del batxillerat.
En el moviment d'un satèl·lit (òrbites circulars o el·líptiques) s'han de conservar l'energia (E) i també el moment angular (L). Si escollim dos punts, 1 i 2, complint que el vector velocitat sigui perpendicular al vector posició ( tal com es compleix en els punts escollits de les trajectòries de la figura 2), tenim:

(2)

Tenint present que el concepte de moment angular no figura en el currículum del batxillerat, per facilitar-ne la comprensió a l'alumnat d'aquest nivell, en comptes de parlar de conservació de moment angular podem igualar les dues àrees escombrades en el perigeu i en l'apogeu de l'òrbita el·líptica, punts 1 i 2, tal com diu la segona llei de Kepler o llei de les àrees (triangles amb una alçada r i una base v dt, on dt és un diferencial de temps), que és conseqüència directa de la conservació del moment angular:

(3)

A la igualtat (3) aïllem la velocitat v₂ :

(4)

Multipliquem per 2 la primera igualtat de (2) i després simplifiquem la massa m del satèl·lit

i substituïm v₂ pel valor obtingut en l'expressió (3)

Amb alguns càlculs senzills, podem aïllar v₁ fins a obtenir l'expressió

I utilitzant de nou l'expressió també obtenim el valor de la velocitat v₂

Podem comprovar que si l'òrbita és circular, és a dir, r₁=r₂ aleshores obtenim en qualsevol de les dues fórmules la velocitat v

que coincideix amb l'expressió (1) que permet calcular la velocitat orbital circular.
També podem comprovar que si l'òrbita no és tancada (en el límit i v₂=0) obtenim l'expressió

que correspon a la velocitat d'escapament d'una òrbita circular.
Ara estem en condicions de resoldre numèricament algun exercici i comprovar-ho amb alguna simulació.

Autor d'aquesta pàgina: Tavi Casellas

Aquesta obra està subjecta a una
Llicència de Creative Commons