Una bala (o una pilota o un baló...)
L’estudi dels xocs forma part dels continguts de la física de 1r curs de batxillerat i en molts casos se'n proposa l'estudi experimental. Per exemple, en la unitat destinada a l’estudi dels transports del llibre interactiu Física en Context, en el punt 3, "Una nova mirada als xocs",
hi ha l’activitat 7: Energia dissipada en el bot d’una pilota, en la qual es demana que s’estudiï la pèrdua d’energia en els xocs i es proposa un protocol
que guia en la mesura amb un sensor de distància de
les altures que aconsegueix una pilota de bàsquet en rebotar.
El que se us proposa en aquesta experiència és aprofundir en l’estudi
dels xocs introduint un nou concepte, el coeficient de restitució, i
obtenir les dades per calcular-lo mitjançant mesures de temps amb el
sensor de so de la vostra tauleta o telèfon mòbil. Per fer això
s’ha d’aprendre a utilitzar l’aplicació AudioTime+
enregistrar sons i analitzar-los.
En qualsevol xoc, els cossos experimenten una deformació i s'alliberen petites quantitats d’energia en forma de calor, però si considerem el cas ideal de la col•lisió, perfectament elàstica, entre dos objectes de masses, m1 i m2, que es mouen en la mateixa direcció, l'energia i la quantitat de moviment totals es conserven, és a dir, l’equació de la conservació de l’energia cinètica en el xoc és:
,
on va i vb són les celeritats del l’objecte 1 abans i després del xoc, i ua i ub són les de la massa 2 també abans i després.
L’equació de la conservació de la quantitat de moviment en el xoc és:
.
Si es combinen linealment les dues equacions s’obté aquesta:
que també es pot escriure
La fórmula anterior implica que, en el cas ideal d'un
xoc perfectament elàstic en una direcció, la velocitat relativa
abans de xocar, 
, és
igual a la velocitat relativa després del xoc canviada de signe, 
.
Però si en el xoc hi ha pèrdues energètiques (és
a dir, sempre), la velocitat relativa després del xoc és més
petita i l’equació es pot escriure:
on e és un coeficient, anomenat de restitució, que mesura indirectament la proporció d’energia perduda en el xoc:
En analitzar aquesta equació es poden fer les consideracions següents:
1. Si el xoc és completament elàstic, les velocitats relatives abans i després són iguals i el coeficient de restitució és igual a 1, e = 1.
2. Si el xoc és totalment inelàstic, els dos cossos continuen junts després del xoc (mateixa celeritat),
, i el coeficient de restitució és igual a 0, e = 0.
3. En la resta de casos, e és un nombre entre zero (0) i u (1).
 |
| Fig 6: Esquema del rebot d'una pilota per calcular el coeficient de restitució. |
A més, si un dels cossos que xoquen és tan massiu que, estant inicialment quiet respecte al sistema de referència que considerem, després del xoc no es mou, la seva celeritat és sempre zero i l’equació del coeficient de restitució queda en aquest cas:
.
És a dir, que e
solament depèn de les celeritats del propi cos, al qual es pot atribuir
aquest valor de e com a propietat seva. Així, el coeficient de restitució
(e) per
a un material es defineix com la relació de la velocitat d'un objecte
d’aquest material abans i després d'una col•lisió
amb una superfície dura.
En el dibuix del costat (vegeu la figura 6) es representa una pilota que es
deixa caure des d'una altura, H,
rebota amb el terra i arriba una altra vegada fins a una altura menor, h.
S’utilitzi el conveni de signes que sigui, sempre les velocitats de la
pilota abans i després del xoc tindran signes contraris; per tant:
.
Com hem argumentat abans, si la col•lisió és
perfectament elàstica, és a dir, si es conserva l’energia
en el xoc, les dues velocitats tindran el mateix mòdul i e
= 1., i si el xoc és perfectament inelàstic, és
a dir, si l'objecte s'enganxa a la superfície després de la col•lisió,
el e = 0.
El coeficient de restitució (e),
doncs, es pot determinar pel rebot de l'objecte del material que es vol estudiar
sobre una superfície dura.
Les pilotes de golf solen tenir un e
= 0,78; les pilotes de bàsquet tenen un e
entre 0,81 i
0,85, i les pilotes de tennis tenen un e
entre 0,89 i
0,91. Les boletes de vidre poden tenir un e
de fins a 0,95
(sempre que no es deformin i/o es trenquin amb l'impacte). El coeficient de
restitució d'altres objectes com raquetes de tennis i pals de golf es
pot determinar pel rebot d'una esfera dura a sobre. Així, les raquetes
de tennis tenen un e
d'aproximadament 0,85
i els pals de golf de 0,83.
Mesurar directament la velocitat de les pilotes abans i després de botar
és molt complicat. Més fàcil és calcular el coeficient
de restitució a partir del temps entre rebots o a partir de la determinació
de l’altura H
des de la qual es deixa caure l’objecte i l'altura h
a la qual arriba en rebotar. Veiem en aquests casos com és l’equació
que permet calcular el coeficient de restitució.
 |
| Fig 7: Rebots d'una pilota sobre una superfície dura. |
En el diagrama de dalt (figura 7), que representa la posició en funció del temps d’una pilota que va botant i rebotant sobre una superfície dura, va és la velocitat després del primer bot, vb és la velocitat després del segon bot, H és l'altura del primer bot i h és l'altura del segon bot. Si negligim la resistència de l'aire, va és també la velocitat de la pilota just abans del segon bot. El primer rebot triga un temps ta i el segon rebot triga un temps tb.
Com que el moviment de caiguda de la pilota és el de caiguda lliure, es pot calcular la celeritat en el moment de l’impacte amb el terra a partir de l’equació v=g t, on t és el temps de caiguda de la pilota des del punt més alt de la trajectòria, és a dir, la meitat del temps entre xoc i xoc. Per calcular el coeficient de restitució en funció del temps n'hi ha prou a fer el quocient entre dos temps successius:
Si es vol calcular la celeritat de la pilota just abans del xoc en funció de l’altura, s’ha d’utilitzar una altra equació del moviment uniformement accelerat, o bé el principi de conservació de l’energia mecànica: l’energia potencial a dalt de tot serà igual a l’energia cinètica a baix:
Aïllant la velocitat va, que és la velocitat final que adquireix la pilota en caiguda lliure des de l'altura H es té:
I per a vb:
El coeficient de restitució en funció de l’altura serà:
Mesurarem el coeficient de restitució (e) del xoc d’una bala al terra de la classe en funció del temps entre els bots. Per això, deixarem caure la bala des d’una altura qualsevol i gravarem amb l’aplicació AudioTime+ els sorolls que fa en rebotar contra el terra. Després mesurarem el temps entre dos xocs successius i calcularem el coeficient.
 |
| Fig 8: Gravació dels rebots d'una bala amb el terra. |
S’inicia l’app AudioTime+ i es prem el botó
inici (+) per començar a gravar. Es deixa caure
la bala i que reboti diverses vegades. A continuació s’atura l'enregistrament
prement el botó parar 
.
Apareixerà una gràfica com la de la figura 8 en la qual es veuen
les pertorbacions sonores produïdes pels successius xocs al terra de la
bala. S’han de marcar en la pantalla dos moments successius en els quals
s’inicia el soroll del xoc. Això es pot fer de dues maneres:
1. Es prem amb el dit en el dos punts que es consideri. Si es produeix una equivocació, es pot moure la posició arrossegant la marca amb el dit. Si els senyals estan junts, prèviament es poden separar/ampliar separant els dos dits a la pantalla.2. Si es prem el botó
es col•locarà una línia en el primer bot, el que té el senyal més fort, en la part més alta del senyal. Si es veuen en pantalla diversos rebots, s’han d’ampliar els senyals utilitzant dos dits fins que només siguin visibles dos xocs a la pantalla. A continuació es torna a prémer el botó
En qualsevol dels dos casos, apareix el valor del temps (vegeu
la figura 9) entre els dos senyals a la part inferior dreta de la pantalla.
A aquest temps li direm ta.
Per tornar a veure tot el que hem gravat s’ha de pitjar el botó
amb quatre fletxes . Si ara es fa un doble toc a la pantalla eliminarem les
dues línies grogues de la primera mesura. Es poden repetir els passos
d’abans per trobar el temps entre el segon i el tercer rebot. Aquest nou
temps és tb.
A continuació es pot seguir el procés amb tc,
td...
Ara ja es pot trobar el coeficient de restitució dividint el temps segon
pel primer: e=tb/ta.
Si es vol, es pot guardar la gravació prement el botó de la carpeta
i donant-li un nom. Es guarda en la carpeta Audiotime+.
 |
| Fig 9: Captura de pantalla d'AudioTime+ que mostra l'interval entre el primer i el segon bot |
Activitat 1: S’ha d'omplir una taula amb els valors de temps recollits i calcular el valor del coeficient de restitució per a cada parell de dades.
Activitat 2: En analitzar els valors obtinguts, estan tots dins el mateix rang? Es produeix un salt en els valors a partir d’un determinat rebot? Si els valors dels coeficients en cada bot estan dins el mateix rang, es pot calcular el valor més probable i la seva incertesa?
Activitat 3: Altres grups de la classe han obtingut resultats similars? És el resultat esperat?
Autor d'aquesta pągina: Lorenzo Ramírez. Catedràtic de Física i Química en l’institut Maria Rúbies de Lleida
Aquesta
obra estą subjecta a una
Llicčncia
de Creative Commons
