El cas de fer el bucle
Estudi de moviments reals utilitzant filmacions

Fig 5:

Solucions

A les qüestions a l’alumnat, que espero que siguin millorades pels estudiants que les responguin.

Activitat 1: Calculeu teòricament la celeritat mínima que hauria de portar el cotxe quan entra en el bucle i també en el punt més alt, per no caure.

Si el cotxe passa pel punt més alt de la pista,les forces que hi actuen en aquest moment són el propi pes i la força suplementària que hi fa la pista. La resultant de les dues l'obliguen a continuar girant circularment.
Aplicant la segona llei de Newton i tenint en compte que si en aquest moment la direcció de les forces (F i P) és vertical i cap avall, és a dir radial, l’acceleració que produiran és la normal, podem escriure:

(1)

I si aïllem la rapidesa que porta adalt,

(2)

Amb aquesta equació (2) podem calcular en general la celeritat que tindrà el cotxe en la part més alta de la trajectòria en funció de les forces que hi actuen.Però, quina és la rapidesa mínima? El radi de gir, la massa del cotxe i l’acceleració de la gravetat en aquell lloc són conegudes, l’única magnitud que pot canviar és la força (F) que fa la pista en elvehicle. Així doncs, com més petita és la força F menys celeritat porta el cotxe. On ésel límit? Quan la força que fa la pista sigui zero (perquè no pot ser negativa,ja que el cotxe no està enganxat al terra),llavors:

(3)

És a dir, la celeritat mínima del cotxe en la part més alta només depèn del radi de la pista (i de la gravetat g a la Terra). Com en el nostre cas, R = 6 m.

(4)

Ara bé, per aconseguir passar per la part de dalt amb aquesta rapidesa mínima, amb quina celeritat ha d’entrar al bucle?

Per trobar-la haurem de fer dues aproximacions en els càlculs que tenen efectes contraris,cosa que minimitza la incertesa en el resultat. Per una banda,el conjunt motor-rodes del cotxe no treballa quan està en el buclei, per una altra, el fregament de les peces del cotxe amb l’aire i l’estructura del bucle és menyspreable.
Si es donen aquestes dues condicions no hi haurà ni pèrdues ni guanys energètics i l’energia mecànica del sistema es conservarà:

Energia en la base = Energia en el punt més alt

(5)

Activitat 2: Trobeu, amb l’ajut del Tracker, la rapidesa amb la qual el cotxe entra en el llaç, la que porta quan està vertical (un quart de volta) i la que té a dalt del tot del bucle..
Obriuen el Tracker el vídeo de FifthGear i estudieu per separat cadascun dels trams, escollint un sistema de referència diferent per a cada situació (a baix, en vertical i a dalt de tot) en l’instant que considereu l’inici del moviment en cada cas. Per marcar els punts, us heu de fixar en algun element del cotxe que sigui prou distingible en cada tram. Per exemple, a baix he seguit el recorregut del retrovisor i a dalt el de la finestra. Així ens sortirà:

En el moment en què entra en el bucle : (vegeu les figures 6 i 7).

Fig 6:

Fig 7:

Quan està pujant verticalment : (vegeu les figures 8 i 9).

Fig 8:

Fig 9:

I en el punt més alt : (vegeu les figures 10 i 11).

Fig 10:

Fig 11:

Activitat 3: Calculeu la força extra que suporta l’estructura quan el cotxe entra, quan està vertical i en el punt més elevat.

Fig 12:

Aquesta força extra (F) és la necessària per aguantar el pes (P) del vehicle i fer girar el cotxe en el bucle. En cada cas correspon a la força que juntament amb el seu pes proporciona al cotxe l’acceleració normal () que li permet girar. Veiem cada situació:
A l’inici del gir, en la part baixa ,, perquè l’estructura ha d’aguantar tot el pes del cotxe i alhora fer-lo girar.
En la situació vertical , , per què el pes és perpendicular a l’acceleració normal.
I en el punt més alt, , perquè només és el pes el que fa girar el cotxe quan la celeritat és la mínima.

Activitat 4: Calculeu l’energia que té el cotxe en cadascun dels instants anteriors.
L’energia mecànica del cotxe en cada moment serà la suma de l’energia cinètica i la potencial gravitatòria. Prenem com a posició de referència per al càlcul de l’energia potencial gravitatòria la base del bucle. Les celeritats són les obtingudes experimentalment amb el Tracker i per a la massa del cotxe prendrem la d’un Toyota Aygo com el del vídeo, que és de 790 kg.

Energia mecànica a l’inici:

Energia mecànica en vertical:

Energia mecànica a dalt de tot :

Activitat 5: Coincideixen els vostres càlculs teòrics amb els que fa el Dr. Hugh Hunt en el vídeo de Fifth Gear TV?.
Doncs sí. En tot cas faltaria per repetir un dels càlculs que fa el professor Hunt per conèixer l’acceleració a la qual estaria sotmès el pilot en fer el bucle.
Si volem calcular l’acceleració màxima hauríem de fer-ho quan el cotxe gira amb la celeritat màxima, que és en el moment en què inicia el gir . En aquest cas:

És a dir, aproximadament sis vegades l’acceleració de la gravetat, que és el que li surt al professor en el vídeo, una acceleració considerable però assumible per a un pilot de curses.

Activitat 6: Entra el cotxe amb prou marge de seguretat?
Teòricament el cotxe entra amb un cert marge de seguretat ja que la celeritat inicial mínima per no caure hem calculat que ha de ser de 17,2 m/s i la mesurada en la realitat ha estat de 18,4 m/s.
Ara bé, el risc d’accident és molt alt ja que si continués en el segon quadrant la mateixa pèrdua energètica que té en el primer, arribaria a dalt —si hi arribava—amb una energia mecànica de 69,3 kJ. Si intentem calcular la celeritat del cotxe en el moment crític tindríem:

És a dir, que la celeritat seria zero abans d’arribar a i el cotxe cauria.
Tot això sense comptar el perill que l’estructura no aguanti els sobreesforços que es generen.

Activitat 7: Una vegada que el cotxe ha entrat en el bucle, el conductor continua prement l’accelerador?
Com s’aprecia en les respostes a les activitats 2 i 4, tant per la velocitat com per l’energia mecànica del cotxe en els tres punts estudiats, hi ha en el primer quadrant una disminució apreciable de la energia, de manera que podem suposar que el conductor aixeca el peu de l’accelerador. Posteriorment hi ha una recuperació de l’energia en el segon quadrant i això indica que el pilot torna a prémer l’accelerador.