Inducció per caiguda lliure d'un magnet
El model
| Un magnet de petites dimensions i de moment
magnètic 
es deixa caure provocant una variació de flux en una bobina prima
de radi R situada
a una distància vertical h.
A la figura podem veure el magnet durant la caiguda, a una distància
x respecte
de la bobina situada a x=0
.
El magnet crea un camp magnètic que, per a punts relativament
llunyans (respecte de les seves dimensions), sabem que té un potencial
vector
El camp  serà
|
|
|
Si la bobina és prima (les espires estan totes al mateix lloc), el flux
que aquest camp hi provoca és
on N
és el nombre d'espires de la bobina i 
la superfície encerclada per una espira.
Utilitzant el teorema de Stokes tenim
on C és
el contorn de la bobina. Noteu que d'aquesta manera podem calcular el flux utilitzant
(12), ja que els punts del contorn C
estaran sempre lluny del magnet.
Substituint (9) a (12) obtenim
on hem utilitzat que r
és constant al llarg de C
i que 
és paral·lel
a 
. Podem posar r
en funció de x
per obtenir
La força electromotriu induïda a la bobina és, segons la
llei de Faraday:
A la figura podem veure de forma qualitativa el perfil de  en
funció de la posició x. |
|
El valor màxim d'aquesta vindrà donat per
on 
són, respectivament,
la posició i la velocitat del magnet quan es dóna la variació
màxima de flux. Notem que si 
és independent de la velocitat del magnet (o altura des de la
qual el tirem) i només depèn de la geometria (de R),
llavors podem dir que la FEM màxima és proporcional a la velocitat.
També hem de fer notar que aquesta velocitat no és la que correspon
a una altura h
respecte de la posició de la bobina (és a dir x
= 0 ) sinó a una altura
.
Així doncs, continuem per mirar d'esbrinar aquestes qüestions.
Tornem a derivar el flux i igualem a zero
Fixem-nos que si el magnet es mou amb una velocitat constant (a
= 0 ) llavors el màxim està situat a
i és independent de la velocitat (o altura h).
Però el magnet cau, segons
,
és a dir, 
i
.
Fent la ssubstitució a (15) , tenim
Així, si h
és molt més gran que R
podem seguir mantenint que 
i
que 
. A més,
en aquest cas tindrem 
( ), i així
Efectes secundaris
Tenim tres possibles efectes no contemplats d'entrada: a)
efectes de fregament sec i aerodinàmic i b) efectes
electromagnètics de segon ordre i c) el gruix de la
bobina
a) Els possibles efectes de fregament aerodinàmic es
veuran afavorits per una h
gran i tendin a fer que la velocitat de caiguda arribi a la velocitat límit
i sigui constant. Encara es compliria
i . Caldria però
esbrinar aquesta velocitat. No tindrem en compte aquests efectes.
b) El magnet indueix corrents a l'espira i aquesta genera
un camp magnètic de sentit oposat. La situació és l'encarament
entre dos pols magnètics del mateix signe. Així doncs, la interacció
entre magnet i espira és de repulsió. A distàncies relativament
grans, mentre el magnet està caient, aquesta repulsió és
molt feble i no té cap importància. Quan passa per la posició
per la qual tenim 
aquesta
força podria ser important i provocar una disminució de
i
consegüenment de.
Encara es compliria,
però caldrà esbrinar aquesta velocitat. Dit en altres paraules:
negligint l'efecte Joule de les resistències, el sistema conserva l'energia.
Hi ha un transvasament d'energia cap a la bobina, no tota l'energia gravitatòria
es converteix en cinètica. Les pèrdues per efecte Joule compliquen
més aquesta situació. Vegeu la secció
L'efecte magnètic secundari una mica més avall.
c) La bobina té un cert gruix, 
,
que no hem tingut en compte perquè complica mot les coses i no introdueix
res de nou en l'aspecte conceptual. En el cas general, si a
és la relació entre el gruix de la bobina i el seu diàmetre,
, s'obté 
.
Especificarem aquests resultats per al cas de bobina prima 
(a
= 0), i de bobina gruixda 
(a = 1).
Bobina prima
Bobina gruixuda
|
|
L'efecte magnètic secundari
Podem fer una avaluació aproximada dels efectes magnètics secundaris
analitzant el terme de correcció del flux causat per l'autoinducció
L de la
bobina, 
, que dóna
lloc a un terme de correcció en la força electromotriu, 
.
Si la resistència total és
,
llavors 
, i així
tenim
Si prenem l'interval de temps en què hi ha l'augment de FEM
de 0 fins a ,
podem aproximar 
,
on hem pres com
una mesura del tram de caiguda en què hi ha el creixement efectiu de
fem de 0
fins a . Ara, aproximant
el coeficient d'autoinducció de la bobina pel d'una bobina llarga,
d'una llargada 
, 
,
obtenim finalment la importància relativa del terme d'autoinducció
(22) explicitant els paràmetres rellevants
del nostre cas
Finalment com que es tracta d'un càlcul aproximat, podem substituir
pel valor corresponent
a bobina prima. Així l'efecte magnètic secundari serà petit
sempre que
Podem controlar aquest valor amb la resistència Rr.
En el diseny de l'experiència caldrà controlar aquests efectes,
que en general són febles.
Autor
d'aquesta pągina: Xavier Jaén, professor
de física de la UPC.
Aquesta
obra estą subjecta a una
Llicčncia
de Creative Commons
